Pernahkah anda mendengar kata Modulo atau Modulus? Bagi yang sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini saya akan sedikit membahas konsep modulo sebagai referensi tambahan bagi adik-adik yang sedang mempersiapkan diri menghadapi OSN matematika atau kompetisi matematika lainnya. Selain itu, berdasarkan informasi yang kami terima materi modulo juga merupakan materi yang diujikan pada Ujian Pengetahuan (UP) UKMPPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru).
Apa itu Modulo?
Modulo biasa digunakan untuk mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahawa $123=10\times 12+3$, yang artinya jika 123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunkan modulo dapat kita tulis $123\space\text{mod}\space 12=3$ atau $\text{mod}\space (123,12)=3$
Penulisan Modulo
Pada tulisan ini kami akan menggunakan tanda "$=$" agar lebih mudah dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ atau dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka akan bersisa $b$"
Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$
Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" dapat kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?
Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$
Jadi, $35$ dibagi $8$ akan bersisa $3$.
3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?
Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$
Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$
Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?
Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$
Jadi $(10+17+21)$ jika dibagi $9$ maka akan bersisa $3$
2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ dibagi $2019$?
Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2018)\space\text{mod}\space 2019\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2019\\=(-36)\space \text{mod}\space 2019\\=\left((-1).2019+1983\right)\space\text{mod}\space 2019\\=1983$
Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ jika dibagi $2019$ maka akan bersisa $1983$
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$
2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi $10$
$(2016\times 2017\times 2018\times 2019)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$
Jadi, digit terakhir dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$ adalah $4$
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7^{2019})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2019}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2019}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi $8$ maka akan bersisa $7$
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?
Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$
Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ akan bersisa $3$
3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ jika dibagi $7$?
Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$
Jadi, $54^{44}+55^{55}$ jika dibagi $7$ tidak bersisa
Operasi pada Kongruensi Modulo
Apa yang akan terjadi jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika pada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$
Demikianlah pembahasan konsep modulo yang dapat kami bagikan pada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan pada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami akan membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya akan mempermudah perhitungan kita yang berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat
Penulisan Modulo
Pada tulisan ini kami akan menggunakan tanda "$=$" agar lebih mudah dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ atau dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka akan bersisa $b$"
Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$
Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" dapat kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?
Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$
Jadi, $35$ dibagi $8$ akan bersisa $3$.
3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?
Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$
Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$
Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?
Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$
Jadi $(10+17+21)$ jika dibagi $9$ maka akan bersisa $3$
2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ dibagi $2019$?
Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2018)\space\text{mod}\space 2019\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2019\\=(-36)\space \text{mod}\space 2019\\=\left((-1).2019+1983\right)\space\text{mod}\space 2019\\=1983$
Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ jika dibagi $2019$ maka akan bersisa $1983$
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$
2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi $10$
$(2016\times 2017\times 2018\times 2019)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$
Jadi, digit terakhir dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$ adalah $4$
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7^{2019})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2019}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2019}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi $8$ maka akan bersisa $7$
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?
Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$
Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ akan bersisa $3$
3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ jika dibagi $7$?
Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$
Jadi, $54^{44}+55^{55}$ jika dibagi $7$ tidak bersisa
Operasi pada Kongruensi Modulo
Apa yang akan terjadi jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika pada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$
Demikianlah pembahasan konsep modulo yang dapat kami bagikan pada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan pada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami akan membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya akan mempermudah perhitungan kita yang berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat
