Logaritma - Definisi, Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

m4th-lab.net - Logaritma, Definisi, Sifat-sifat, Contoh soal dan Pembahasan

Pada tulisan ini saya akan membahas logaritma dari konsep dasar, termasuk definsi dan sifat-sifat logaritma lengkap dengan contoh soal dan pembahasan. Materi mengenai logaritma ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi).

Informasi : Tulisan ini memuat karakter matematika dalam bentuk latex yang tidak responsive untuk media mobile. Jika ada karakter matematika yang terpotong, sebaiknya buka laman ini via PC/Laptop, atau via smartphone dengan posisi landscape.

Definisi Logaritma

---

Logaritma sangat erat kaitannya dengan eksponen atau perpangkatan. Loritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan (eksponen). Biasanya logaritma kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan suatu persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. 

Pada materi eksponen kita telah mengetahui bentuk $\displaystyle a^x=b$ merupakan suatu bilangan berpangkat dengan $a$ sebagai basis (bilangan pokok), $x$ sebagai pangkat (eksponen) dan $b$ merupakan hasil perpangkatan yang disebut numerus. 

Dalam materi logaritma ini, yang akan kita cari adalah nilai pangkat atau eksponennya. Misalnya $2^x=32$, berapa nilai $x$ yang memenuhi? dengan mudah bisa kita jawab $x=5$ karena $2^5=32$. Lalu bagaimana cara mencari nilai $x$ dari persamaan $3^x=7$? untuk mencari nilai $x$ dari persamaan tersebut kita akan kesulitan. Untuk menyatakan nilai $x$ dari persamaan tersebut kita memerlukan suatu "alat" atau operasi matematika yang disebut dengan logaritma. Logaritma ditemukan oleh seorang matematikawan asal skotlandia bernama John Napier. Untuk memahami lebih jelas mengenai logaritma, perhatikan definisi logaritma sebagai berikut:

Definisi Logaritma

Jika $a\gt 0$, $a\ne 1$, dan $b\gt 0$ maka:

$\displaystyle a^x=b \Leftrightarrow x= ^a\!\log{b}$ 

$a$ disebut basis (bilangan pokok), $b$ disebut numerus, dan $x$ hasil logaritma (pangkat)

Sebagai catatan, pada beberapa buku atau karya tulis ilmiah tertutama yang berasal dari luar indonesia, penulisan letak basis logaritma bisa berbeda yaitu $\log_a{b}$ dengan $a$ sebagai basis dan $b$ numerus. Untuk logaritma basis 10, maka basis tidak perlu ditulis, misalnya $^{10}\!\log 100$ cukup ditulis $\log 100$. Jika basis logaritma berupa konstanta euler $(e)$ maka penulisan logaritma $^e\! \log b=\ln b$ dengan $e\approx 2,7182818284\cdots$ disebut sebagai logaritma natural

Berdasarkan definisi di atas, kita dapat mengubah bentuk perpangkatan ke dalam bentuk logaritma dan sebaliknya, kita pun dapat mengubah bentuk logaritma ke dalam bentuk perpangkatan. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1
Nyatakan bentuk perpangkatan berikut dalam bentuk logaritma!
1). $\displaystyle 5^3=125$
2). $\displaystyle 2^3=8$
3). $\displaystyle 5^x=7$
4). $\displaystyle a^b=c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3$

Jawab

1). $\displaystyle 5^3=125\Leftrightarrow 3= ^5\!\log 125$
2). $\displaystyle 2^3=8\Leftrightarrow 3= ^2\!\log 8$
3). $\displaystyle 5^x=7 \Leftrightarrow x= ^5\!\log 7$
4). $\displaystyle a^b=c\Leftrightarrow b= ^a\!\log c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3\Leftrightarrow\frac{1}{2}= ^9 \!\log 3$

Contoh 1
Nyatakan tiap persamaan logaritma berikut dalam bentuk perpangkatan!
1). $\displaystyle ^4\log 64=3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r $

Jawab
1). $\displaystyle ^4\log 64=3\Leftrightarrow 64=4^3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r \Leftrightarrow q=p^r$

Contoh 3
Tentukan nilai $x$ dari tiap persamaan berikut!
1). $\displaystyle ^3\log x=4$
2). $\displaystyle ^x\log 16=2$
3). $\displaystyle ^2\log 64=x$

Jawab

$\begin{align*}\text{1). } ^3\log x=4\Leftrightarrow x&=3^4\\x&=81\end{align*}$

$\begin{align*}\text{2). }^x\log 16 =2 \Leftrightarrow 16&=x^2\\x&=4\end{align*}$

$\begin{align*}\text{3). }^2\log 64=x\Leftrightarrow 64&=2^x\\2^6&=2^x\\x&=6\end{align*}$

Sifat-sifat Logaritma

---

Sifat-sifat logaritma dapat digunakan untuk mengubah bentuk-bentuk suatu logaritma ke bentuk-bentuk yang diinginkan. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut:

Sifat-sifat Logaritma

  $\displaystyle ^a\log 1=0$
  $\displaystyle ^a\log a=1$
  $\displaystyle ^a\log b^n=n\times ^a\log b$
  $\displaystyle {}^{a^m} \log b^n =\frac{n}{m}\times ^a\log b$
  $\displaystyle ^a\log bc=^a\log b+^a\log c$
  $\displaystyle ^a\log\frac{b}{c}=^a\log b-^a\log c$
  $\displaystyle ^a\log b=\frac{1}{^b\log a}$
  $\displaystyle ^a\!\log b .^b\!\log c .^c\!\log d=^a\!\log d$
  $\displaystyle \frac{^a\!\log b}{^a\!\log c}=^c\!\log b$
$\displaystyle a^{^a\!\log b}=b$

Perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut ini:

Contoh
Tentukan nilai dari $\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}$

 Jawab:
$\begin{align*}\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}&=\frac{\log{\left(5\sqrt{5}\times\sqrt{3}\times 45\right)}}{\log 15}\\&=\frac{\log{225\sqrt{15}}}{\log{15}}\\&=^{15}\log{225\sqrt{15}}\\&=^{15}\log 225 +^{15}\log \sqrt{15}\\&=^{15}\log{15^2}+^{15}\log{15^{\frac{1}{2}}}\\&=2+\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{align*}$

Soal Latihan:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log\sqrt{12}}=$ ....

Jika ada bagian yang terpotong, sebaiknya buka laman ini melalui laptop/PC atau melalui smartphone dalam mode landscape.

$\begin{align*}\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log \sqrt{12}}&=\frac{\left(^3\!\log 36+^3\!\log 4\right)\left(^3\!\log 36-^3\!\log 4\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{\left(^3\!\log 144\right)\left(^3\!\log 9\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{^3\!\log144}{^3\!\log\sqrt{12}}\times ^3\!\log 9\\&=^\sqrt{12}\!\log 144\times 2\\&=^{12^{\frac{1}{2}}}\log{12^2}\times 2\\&=4\times 2\\&=8\end{align*}$

Penerapan Logaritma

---

Konsep logaritma banyak diterapkan di berbagai cabang ilmu pengetahuan. Diantaranya:

Dalam fisika, salah satunya digunakan untuk menentukan kuat intensitas cahaya

Dalam bidang ekonomi, logaritma digunakan dalam perhitungan terkait persoalan bunga majemuk

Dalam bidang kimia, salahsatunya digunakan dalam menentukan derajat keasaman zat (pH)

Dalam bidang Biologi, digunakan dalam persoalan pertumbuhan bakteri

Selain beberapa persoalan di atas, masih banyak lagi disiplin ilmu lain yang memanfaatkan konsep logaritma. Untuk itu konsep ini sangat penting untuk kita pelajari.

Demikianlah pemaparan mengenai logaritma, meliputi definisi, sifat-sifat dan beberapa contoh soal dilengkapi pembahasan. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan tulisan ini dalam format pdf, silakan download melelui tombol di bawah ini:

• DOWNLOAD TULISAN INI

Fungsi Eksponensial - Matematika Peminatan Kelas X

Pada tulisan ini kita akan belajar mengenai fungsi eksponensial. Pada kurikulum 2013 revisi materi ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan. Penerapan fungsi eksponensial banyak ditemui di berbagai bidang, seperti bidang ekonomi, fisika, biologi, pertanian, dan sebagainya. Jadi, materi ini sangat penting untuk kita pelajari.

Definisi Fungsi Eksponensial

---

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memetakan setiap $\displaystyle x\in$ bilangan real ke $\displaystyle f(x)=a^x$ dengan $a\ne 1$ dan $a\gt 0$

Bentuk umum fungsi eksponensial adalah $\displaystyle y=f(x)=k a^x$  atau dapat ditulis $\displaystyle f:x\rightarrow ka^x$

Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain  $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$.  $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dan $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.

 Grafik Fungsi Eksponensial

---

Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ jika kita gambar pada diagram cartesius, maka:

Kurva akan monoton naik jika $a\gt 1$

Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$

Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$

Sumbu $X$ merupakan Asimtot

Perhatikan gambar di bawah ini

Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$

Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:

1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton naik, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\lt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin besar, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin kecil". 

2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.

3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $-\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun  tidak pernah memotong sumbu $X$.

Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$

Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:

1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton turun, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\gt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin kecil, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin besar". 

2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.

3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun  tidak pernah memotong sumbu $X$.

 Contoh Soal dan Pembahasan

---

Contoh 

Perhatikan gambar berikut:

Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di atas!

 Pembahasan:

Misal persamaan kurva adalah $y=ka^x$. 
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva adalah $y=4a^x$

Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan informasi tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:

$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$

Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:

$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$

Maka persamaan grafik fungsi di atas adalah $\displaystyle y=2^{x+2}$

Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, jika anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, semoga bermanfaat.

• DOWNLOAD ARTIKEL INI