Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Cosinus jumlah dan selisih dua sudut sangat penting untuk kita pelajari terutama untuk menentukan nilai cosinus dari jumlah dua sudut istimewa atau selisih dua sudut istimewa, misalnya jika kita mau mencari nilai dari $\cos{75^\circ}$ atau $\cos{15^\circ}$ kita tidak perlu menggunkan alat bantu hitung (kalkulator), kita dapat menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Berikut inilah rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut:
$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Mungkin diantara anda ada yang penasaran darimana rumus tersebut diperoleh?. Jika anda adalah seorang pendidik (guru) akan lebih baik jika rumus tersebut tidak langsung diberikan begitu saja, namun arahkan peserta didik (siswa) anda untuk menemukan rumus tersebut (bisa berbantuan LKPD), dengan demikian peserta didik akan lebih memahami konsep dasarnya. Selain itu, konsep yang diperoleh dengan menemukan sendiri akan bertahan lebih lama pada ingatan peserta didik. Berikut ini kami sajikan salah satu cara menemukan (pembuktian) rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Perhatikan lingkaran satuan (berjari-jari 1 satuan) berikut:

Pusat lingkaran berada pada titik koordinat $O(0,0)$. Titik $A$ dan titik $B$ adalah dua titik yang terletak pada lingkaran, misal koordinat titik tersebut adalah $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$. Jarak titik $O$ ke $A$ dan jarak titik $O$ ke $B$ adalah $|OA|=|OB|=r=1$. Sudut yang terbentuk antara $OA$ dan sumbu $x$ adalah $\alpha$ dan sudut yang terbentuk antara $OB$ dan sumbu $x$ adalah $\beta$ serta $\angle{AOB}=\alpha-\beta$ maka kita peroleh:

$\cos{\alpha}=\frac{x_1}{r}=\frac{x_1}{1}=x_1$ dapat kita tulis $x_1=\cos{\alpha}$

$\sin{\alpha}=\frac{y_1}{r}={y_1}{1}=y_1$ dapat kita tulis $y_1=\sin{\alpha}$

$\cos{\beta}=\frac{x_2}{r}=\frac{x_2}{1}=x_2$ dapat kita tulis $x_2=\cos{\beta}$

$\sin{\beta}=\frac{y_2}{r}=\frac{y_2}{1}=y_2$ dapat kita tulsi $y_2=\sin{\beta}$

Selanjutnya, dengan menggunkan konsep jarak antara dua titik yang sudah dipelajari di SMP, kita akan menentukan jarak antara titik $A$ dan titik $B$

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta-\sin{\alpha}})^2}\\&=\sqrt{\cos^2{\beta}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\alpha}+\sin^2{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin^2{\alpha}}\end{align*}$

Berdasarkan identitas trigonometri, kita ketahui bahwa $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ dan $\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1$, maka dari  persamaan di atas kita peroleh

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{1+1-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\end{align*}$ 

Kita sebut saja persamaan $|AB|=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}$ sebagai persamaan (1)

Jika juring $AOB$ kira rotasi searah jarum jam sejauh $\beta$ dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$, maka $OB$ akan berimpit di sumbu $x$, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Misal koordinat titik $A$ setelah di rotasi adalah $A'(x_1', y_1')$ 

$\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{x_1'}{r}=\frac{x_1'}{1}=x_1'$ dapat kita tulis $x_1'=\cos{(\alpha-\beta)}$

$\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{y_1'}{r}=\frac{y_1'}{1}=y_1'$ dapat kita tulis $y_1'=\sin{(\alpha-\beta)}$

Setelah dirotasi, titik $B$ terletak di sumbu $x$ dengan koordinat $B'(1,0)$

Selanjutnya kita akan mencari jarak antara titik $A'$ dan titik $B'$

$\begin{align*}|A'B'|&=\sqrt{(1-x_1')^2+(0-y_1')^2}\\&=\sqrt{(1-\cos{(\alpha-\beta)})^2+(0-\sin{(\alpha-\beta)})^2}\\&=\sqrt{1-2\cos{(\alpha-\beta)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}+\sin^2{(\alpha-\beta)}}\\&=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}\end{align*}$

Kita sebut saja persamaan $|A'B'|=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}$ sebagai persamaan (2)

Ukuran juring $AOB$ sebelum dan setelah rotasi tidak berubah (rotasi tidak mengubah ukuran), maka $|A'B'|=|AB|$, dari persamaan (1) dan persamaan (2) kita peroleh:

$\begin{align*}|A'B'|&=|AB|\\ \sqrt{2-2\cos{\alpha-\beta}}&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\\ 2-2\cos{(\alpha-\beta)}&=2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\-2\cos{(\alpha-\beta)}&=-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Catatan: Jika anda membuka tulisan ini menggunakan smartphone, kemungkinan equation terpotong. Silakan posisikan layar semartphon anda dalam mode landscape atau buka tulisan ini via PC/laptop.

Dari proses di atas, maka kita peroleh bahwa rumus cosinus selisih dua sudut yaitu $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

Untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, kita hanya perlu mensubstitusi $-\beta$ ke $\beta$ dan perlu diingat bahwa $\cos{(-\beta)}=\cos{\beta}$ dan $\sin{(-\beta)}=-\sin{\beta}$

$\begin{align*}\cos{(\alpha-(-\beta))}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Contoh Penyelesaian Soal

Contoh 1

Tentukan nilai dari $\cos{15^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Contoh 2

Tentukan nilai dari $\cos{75^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Demikianlah materi yang dapat kami bagikan pada tulisan sederhana ini, semoga memberikan ilmu baru bagi anda. Jika ada kekeliruan mohon koreksinya, silakan isi kolom komentar.

Turunan Fungsi Trigonometri

Sebelumnya, m4th-lab telah membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yang merupakan salah satu materi yang dipelajari pada matematika wajib kelas XI.  Pada kesempatan ini kita akan belajar turunan fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas XII pada matematika peminatan.

Rumus Dasar

---

Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri

  1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$

  2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$

  3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$

  4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$

  5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$

  6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$

Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan huruf c turunannya bernilai negatif.

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.

Jawab:

Ingat kembali aturan penjumlahan dan pengurangan pada turunan fungsi aljabar yang telah kita pelajari  bahwa jika $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$

$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$

Selain rumus dasar di atas, perhatikan dan pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks sebagai berikut.

  

   Misal sudut dalam fungsi trigonometri adalah $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:

  1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

  2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

  3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$

  4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$

  5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$

  6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$

Perhatikan dan pahami rumus di atas. Sebenarnya jika anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat mudah untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan adalah mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$

Jawab:

Misal $6x=u$ maka $u'=6$

$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$

Jawab:

Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$

$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$ 
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$

---

Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2018)}$

Jawab:

Misal $4x-2018=u$ maka $u'=4$

$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2018)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2018)}\\&=20\sec^2{(4x-2018)}\end{align*}$

---

Contoh 5

Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$

---

Contoh 6

Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Jawab:

$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$

Turunan Bentuk $y=u.v$

---

Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan atau diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi adalah $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:

Contoh 7

Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$


Jawab

Kita buat pemisalan

$u=x^2\rightarrow u'=2x$

$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$

$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$

Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$

---

Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:

$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 8

Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....

Jawab

Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$

$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$


Aturan Rantai

---

Jika fungsi trigonometri yang akan kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ atau $y=\cos^n{u}$ atau $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan aturan rantai (chain rule) sebagai berikut:

$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$

Selanjutnya kita akan menentukan formula untuk menentukan turunan dari $y=\sin^n{u}$, $y=\cos^n{u}$ dan $y=\tan^n{u}$ dengan menggunakan aturan rantai berikut ini.

$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$

untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$

---

Contoh 10

Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$

 Jawab:

$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$

Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.

Konsep Dasar Turunan Fungsi Aljabar - Matematika Wajib Kelas XI

Pada kurikulum 2013 revisi, materi mengenai turunan atau diferensial dipelajari di kelas XI dan kelas XII. Di kelas XI, materi turunan di berikan pada matematika wajib namun sebatas turunan fungsi aljabar, sementara untuk turunan fungsi trigonometri diberikan di kelas XII pada matematika peminatan. 

Pada tulisan ini, saya hanya memaparkan turunan fungsi aljabar yang dipelajari di kelas XI matematika wajib. Silakan anda pelajari dengan baik karena materi turunan ini akan sangat membantu kita seperti untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan dalil L'Hopital, menentukan puncak suatu fungsi kuadrat tanpa rumus, menentukan gradien.

Berikut ini konsep dasar matematika mengenai materi turunan

Definisi Turunan

---

Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$. Turunan dari $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $f'(x)$ atau $y'$ atau $\displaystyle\frac{dy}{dx}$, didefinisikan sebagai berikut:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Contoh 1

Jika diberika $y=6x+1$, maka tentukanlah turunan $y$ terhadap $x$

Jawab:

$\begin{align*}y'&=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)+1-(6x+1)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6x+6h+1-6x-1}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6h}{h}\\&=\lim_{h\to 0} 6\\&=6\end{align*}$

Rumus Turunan & Contoh

---

Menyelesaikan turunan suatu fungsi khususnya fungsi aljabar dengan menggunakan definisi akan menghabiskan waktu yang cukup lama dan rumit. Berikutnya, kita akan menentukan turunan atau diferensial suatu fungsi dengan menggunakan beberapa rumus yang tentunya rumus tersebut diperoleh dengan menjabarkan definisi turunan secara umum. Berikut ini beberapa rumus yang peru diingat dan perlu dipahami:

1) Jika $y=c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y'=0$

2) Jika $y=ax^n$ dengan $a$ dan $n$ anggota bilangan real, maka $y'=an x^{n-1}$

3) Jika $y=u\pm v$ dengan $u$ dan $v$ merupakan fungsi, maka $y'=u'\pm v'$

4) Jika $y=u.v$  dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $y'=u'v+uv'$

5) Jika $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=7$

Jawab:

Berdasarkan rumus pertama di atas, turunan pertama dari suatu konstanta adalah $0$, maka:

$y=7\Rightarrow y'=0$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=6x^3$

Jawab:

Dengan menggunakan rumus kedua, maka kita peroleh:

$\begin{align*}y'&=3.6x^{3-1}\\&=18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=2x^4+5x^2-7x+3$

Jawab:

$\begin{align*}y&=2x^4+5x^2-7x+3\\y'&=4.2x^{4-1}+2.5x^{2-1}-1.7x^{1-1}+0\\&=8x^3+10x-7\end{align*}$

---

 Contoh 5

Tentukan turunan pertama $y=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3$

Jawab

Sebelum kita turunkan, terlebih dahulu kita ubah dulu bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen

$\begin{align*}y&=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3\\&=6x^{\frac{1}{2}}+5x^{-2}+3\\y'&=\frac{1}{2}.6x^{\frac{1}{2}-1}+(-2)(5)x^{-2-1}+0\\&=3x^{-\frac{1}{2}}-10x^{-3}\\&=\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{10}{x^3}\\&=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{10}{x^3}\end{align*}$

---

 Contoh 6

Tentukan turunan pertama dari $y=x^3(x^2+6)$

Jawab:

Cara menentukan turunan/diferensial yang memuat perkalian dua buah fungsi kita gunakan rumus ke $4$ yaitu $\displaystyle y=u.v\Rightarrow y'=u'v+uv'$

untuk fungsi $y=x^3(x^2+6)$ kita misalkan $u=x^3$ dan $v=x^2+6$ maka $u'=3x^2$ dan $v'=2x$, dengan demikian maka:

$\begin{align*}y'&=(3x^2)(x^2+6)+(x^3)(2x)\\&=3x^4+18x^2+2x^4\\&=5x^4+18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 7

Tentukan turunan pertama dari $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$

Jawab:

Cara menentukan turunan suatu fungsi yang memuat pembagian dua buah fungsi seperti soal di atas, kita gunakan rumus ke $5$ yaitu $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

Untuk fungsi $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$ kita buat pemisalan 

$u=x\Rightarrow u'=1$
$v=x^2+1\Rightarrow v'=2x$

$\begin{align*}y'&=\frac{(1)(x^2+1)-(x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\&=\frac{x^2+1-2x^2}{x^4+2x^2+1}\\&=\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}\end{align*}$

Lihat juga: Download Soal Limit Fungsi Aljabar

Aturan Rantai & Contoh

---

Misalnya $y=f\left(g(x)\right)$ atau $y=\left(f\circ g\right)(x)$ dengan $f$ dan $g$ merupakan fungsi-fungsi dalam variabel $x$ yang memiliki turunan. Turunan $y$ adalah

$y'=f'(g(x))\times g'(x)$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 8

Tentukan turunan pertama dari $y=(x^2+3x-5)^{10}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=(x^2+3x-5)^{10}\\y'&=10(x^2+3x-5)^{10-1}\times(2x+3)\\&=10(x^2+3x-5)^9\times(2x+3)\\&=(20x+30)(x^2+3x-5)^9\end{align*}$

---

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sqrt{x^3+2x}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sqrt{x^3+2x}\\y&=(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}\\y'&=\frac{1}{2}(x^3+2x)^{-\frac{1}{2}}(3x^2+2)\\&=\frac{3x^2+2}{2(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{x^3+2x}}\end{align*}$

Demikianlah konsep matematika tentang turunan atau diferensial, untuk latihan silakan download soal turunan fungsi aljabar disini . Namun, jika anda masih belum paham sebaiknya lihat video pembahasan turunan fungsi aljabar berikut . Untuk soal online, silakan kunjungi laman ini

Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan - Tips Marthen Kanginan

Dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, membuat garis bilangan adalah salah satu tahapan yang perlu kita lakukan, terutama jika pertidaksamaan tersebut memiliki beberapa titik kritis atau pembuat nol seperti pertidaksamaan polynomial atau pertidaksamaan rasional . Secara umum, berikut inilah tahapan-tahapan dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

1. Jadikan ruas kanan pertidaksamaan bernilai $0$
2. Faktorkan / tentukan titik kritis (pembuat nol)
3. Buat garis bilangan
4. Tentukan tanda $+$ atau $-$ setiap interval pada garis bilangan
5. Tentukan himpunan penyelesaian.

Untuk pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat, masih dapat dengan mudah kita selesaikan bahkan tanpa membuat garis bilangan. Namun untuk pertidaksamaan yang memuat beberpa faktor atau memiliki banyak titik kritis, membuat garis bilangan menjadi hal yang perlu untuk kita lakukan dalam menentukan himpunan penyelesaian, seperti pertidaksamaan berikut ini:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Pertidaksamaan di atas, memiliki $4$ titik kritis, yaitu $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, sehingga jika kita buat garis bilangannya sebagai berikut:

Seperti kita lihat pada garis bilangan di atas, $4$ titik kritis menyebabkan terbentuknya lima buah interval (daerah) yang perlu kita uji tanda pada masing-masing interval apakah $+$ atau $-$. Jika kita lakukan pengujian dengan mengambil sembarang titik uji pada masing-masing interval, misalnya pada interval I $(x\lt 0)$ kita ambil $x=-1$ sebagai titik uji, pada interval II $(0\lt x\lt \frac{3}{2})$ kita ambil $x=1$ sebagai titik uji, bagaimana dengan interval IV $\left( 3\lt x\lt \frac{7}{2}\right)$? tentunya kita tidak bisa mengambil $x$ bilangan bulat sebagai titik uji, tentu ini akan cukup "merepotkan". Berikut ini tips cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan tanpa menggunakan titik uji.

  Tips Marthen Kanginan

Bagi yang berkecimpung di "dunia" matematika dan fisika pasti sudah tidak asing dengan nama Marthen Kanginan, sudah banyak buku karya beliau yang beredar dan memberikan kontribusi yang sangat besar untuk pendidikan di negeri ini, sama halnya seperti penulis besar lainnya seperti Pak Sukino (salah satu ide kreatif pak Sukino adalah Horner-Kino ), Pak Suwah Sembiring, Pak Husein Tampomas dan penulis lainnya yang sudah memberikan ide dan karya luar biasa untuk kita manfaatkan, semoga kesehatan selalu menyertai beliau semua (saya rekomendasikan anda membeli buku karya-karya beliau, InsyaAlloh sangat bermanfaat).

Salah satu tips yang di berikan pak Marthen Kanginan adalah bagaimana cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan dalam menyelesaiakan pertidaksamaan tanpa menggunkan titik uji. Berikut ini langkah-langkah tips Marthen Kanginan :

   Tips Marthen Kanginan

Cara mudah menentukan tanda pada garis bilangan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

  Tentukan tanda pada daerah paling kanan hanya dengan mengalikan koefisien $x$ dari tiap-tiap fakor

Untuk daerah (interval lainnya), gunakan aturan sebagai berikut: "ketika melewati titik kritis, tanda bergantian kecuali ketika melewati titik kritis yang berasal dari $x^2$ atau $(ax+b)^2$ atau $(ax+b)^n$ dengan $n$ genap maka tanda tetap.

Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan pertidaksamaan yang tadi, sebagai berikut:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh titik kritis $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Langkah pertama dari tips Marthen Kanginan adalah kita tentukan tanda pada interval paling kanan, dalam soal ini berarti interval V. Tanda pada interval paling kanan ditentukan oleh koefisien dari masing-masing variable $x$ setiap faktor. Maka kita peroleh:

$(x^2)(2x)(x)(2x)=$ Positif

Maka daerah paling kanan bernilai positif $(+)$

Berikutnya, kita tentukan tanda pada interval lainnya dengan aturan jika melewati titik kritis yang berasal dari faktor berpangkat genap, maka tanda tetap. 

Pada pertidaksamaan di atas,

$\frac{7}{2}$ berasal dari $(2x-7)$ (pangkat ganjil) maka ketika melewati $\frac{7}{2}$ tanda berubah
$3$ berasal dari $(x-3)^2$ (pangkat genap) maka ketika melewati $3$ tanda tetap
$\frac{3}{2}$ berasal dari $(2x-3)^3$ (pangkat ganjil) maka ketika melewati $\frac{3}{2}$ tanda berubah
$0$ berasal dari $x^2$ (pangkat genap), maka ketika melewati $0$ tanda tetap

untuk lebih jelasnya perhatikan garis bilangan berikut

Maka penyelesaian pertidaksamaan $x^2(2x-3)^3(x-3)^2(2x-7)\lt 0 $ adalah daerah dengan tanda negatif karena pertidaksamaan memiliki tanda $\lt 0$ (negatif), maka penyelesaiannya seperti ditunjukkan oleh gambar berikut:

Yaitu: $\displaystyle\frac{3}{2}\lt x\lt 3$ atau $\displaystyle 3\lt x\lt\frac{7}{2}$

Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa contoh lain berikut ini:

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas adalah $x=1$, $x=2$, $x=3$, dan $x=4$. Interval paling kanan positif, titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap adalah $x=2$, dengan demikian tanda tidak berubah ketika melewati $x=2$ maka garis bilangannya adalah:

Bulatan pada garis bilangan "penuh/berisi" karena, tanda pada pertidaksamaan $\leq 0$ memuat tanda sama dengan, artinya titik kritis termasuk penyelesaian. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$ adalah $x\leq 1$ atau $3\leq x\leq 4$

---

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas adalah $x=1$, $x=2$, $x=3$ dan $x=4$. Tanda pada interval paling kanan positif, karena koefisien semua variabel $x$ positif. Titik kritis yang berasal dari faktor pangkat genap adalah $x=3$, dengan demikian tanda tidak berubah ketika melewati $x=3$.

Meskipun tanda pada pertidaksamaan memuat sama dengan $(\geq 0)$, namun untuk titik kritis yang berasal dari penyebut diberi "bulatan kosong", artinya titik kritis tersebut tidak termasuk penyelesaian.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$ adalah $1\leq x\leq 2$ atau $x\gt 4$

---

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$  

Jawab:

\begin{align*}x^2(2x^2-x)-x^2(2x+5)&\lt 0\\ x^2((2x^2-x)-(2x+5))&\lt 0\\x^2(2x^2-3x-5 )&\lt 0\\x^2(2x-5)(x+1)&\lt 0\end{align*}

Titik kritis $x=0$, $x=\frac{5}{2}$ dan $x=-1$. Tanda pada interval paling kanan positif. Titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap adalah $x=0$, maka ketika melewati $x=0$ tanda tidak berubah.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$ adalah $-1\lt x\lt 0$ atau $0\lt x\lt \frac{5}{2}$

Jika anda masih belum paham, sebaiknya lihat video pembahasannya disini

Demikianlah cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ garis bilangan dengan tips Marthen Kanginan. Semoga bermanfaat.

Untuk latihan pertidaksamaan secara online bisa anda coba soal berikut ini