Konsep Dasar Turunan Fungsi Aljabar - Matematika Wajib Kelas XI

Pada kurikulum 2013 revisi, materi mengenai turunan atau diferensial dipelajari di kelas XI dan kelas XII. Di kelas XI, materi turunan di berikan pada matematika wajib namun sebatas turunan fungsi aljabar, sementara untuk turunan fungsi trigonometri diberikan di kelas XII pada matematika peminatan. 

Pada tulisan ini, saya hanya memaparkan turunan fungsi aljabar yang dipelajari di kelas XI matematika wajib. Silakan anda pelajari dengan baik karena materi turunan ini akan sangat membantu kita seperti untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan dalil L'Hopital, menentukan puncak suatu fungsi kuadrat tanpa rumus, menentukan gradien.

Berikut ini konsep dasar matematika mengenai materi turunan

Definisi Turunan

---

Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$. Turunan dari $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $f'(x)$ atau $y'$ atau $\displaystyle\frac{dy}{dx}$, didefinisikan sebagai berikut:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Contoh 1

Jika diberika $y=6x+1$, maka tentukanlah turunan $y$ terhadap $x$

Jawab:

$\begin{align*}y'&=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)+1-(6x+1)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6x+6h+1-6x-1}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6h}{h}\\&=\lim_{h\to 0} 6\\&=6\end{align*}$

Rumus Turunan & Contoh

---

Menyelesaikan turunan suatu fungsi khususnya fungsi aljabar dengan menggunakan definisi akan menghabiskan waktu yang cukup lama dan rumit. Berikutnya, kita akan menentukan turunan atau diferensial suatu fungsi dengan menggunakan beberapa rumus yang tentunya rumus tersebut diperoleh dengan menjabarkan definisi turunan secara umum. Berikut ini beberapa rumus yang peru diingat dan perlu dipahami:

1) Jika $y=c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y'=0$

2) Jika $y=ax^n$ dengan $a$ dan $n$ anggota bilangan real, maka $y'=an x^{n-1}$

3) Jika $y=u\pm v$ dengan $u$ dan $v$ merupakan fungsi, maka $y'=u'\pm v'$

4) Jika $y=u.v$  dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $y'=u'v+uv'$

5) Jika $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=7$

Jawab:

Berdasarkan rumus pertama di atas, turunan pertama dari suatu konstanta adalah $0$, maka:

$y=7\Rightarrow y'=0$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=6x^3$

Jawab:

Dengan menggunakan rumus kedua, maka kita peroleh:

$\begin{align*}y'&=3.6x^{3-1}\\&=18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=2x^4+5x^2-7x+3$

Jawab:

$\begin{align*}y&=2x^4+5x^2-7x+3\\y'&=4.2x^{4-1}+2.5x^{2-1}-1.7x^{1-1}+0\\&=8x^3+10x-7\end{align*}$

---

 Contoh 5

Tentukan turunan pertama $y=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3$

Jawab

Sebelum kita turunkan, terlebih dahulu kita ubah dulu bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen

$\begin{align*}y&=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3\\&=6x^{\frac{1}{2}}+5x^{-2}+3\\y'&=\frac{1}{2}.6x^{\frac{1}{2}-1}+(-2)(5)x^{-2-1}+0\\&=3x^{-\frac{1}{2}}-10x^{-3}\\&=\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{10}{x^3}\\&=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{10}{x^3}\end{align*}$

---

 Contoh 6

Tentukan turunan pertama dari $y=x^3(x^2+6)$

Jawab:

Cara menentukan turunan/diferensial yang memuat perkalian dua buah fungsi kita gunakan rumus ke $4$ yaitu $\displaystyle y=u.v\Rightarrow y'=u'v+uv'$

untuk fungsi $y=x^3(x^2+6)$ kita misalkan $u=x^3$ dan $v=x^2+6$ maka $u'=3x^2$ dan $v'=2x$, dengan demikian maka:

$\begin{align*}y'&=(3x^2)(x^2+6)+(x^3)(2x)\\&=3x^4+18x^2+2x^4\\&=5x^4+18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 7

Tentukan turunan pertama dari $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$

Jawab:

Cara menentukan turunan suatu fungsi yang memuat pembagian dua buah fungsi seperti soal di atas, kita gunakan rumus ke $5$ yaitu $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

Untuk fungsi $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$ kita buat pemisalan 

$u=x\Rightarrow u'=1$
$v=x^2+1\Rightarrow v'=2x$

$\begin{align*}y'&=\frac{(1)(x^2+1)-(x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\&=\frac{x^2+1-2x^2}{x^4+2x^2+1}\\&=\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}\end{align*}$

Lihat juga: Download Soal Limit Fungsi Aljabar

Aturan Rantai & Contoh

---

Misalnya $y=f\left(g(x)\right)$ atau $y=\left(f\circ g\right)(x)$ dengan $f$ dan $g$ merupakan fungsi-fungsi dalam variabel $x$ yang memiliki turunan. Turunan $y$ adalah

$y'=f'(g(x))\times g'(x)$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 8

Tentukan turunan pertama dari $y=(x^2+3x-5)^{10}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=(x^2+3x-5)^{10}\\y'&=10(x^2+3x-5)^{10-1}\times(2x+3)\\&=10(x^2+3x-5)^9\times(2x+3)\\&=(20x+30)(x^2+3x-5)^9\end{align*}$

---

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sqrt{x^3+2x}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sqrt{x^3+2x}\\y&=(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}\\y'&=\frac{1}{2}(x^3+2x)^{-\frac{1}{2}}(3x^2+2)\\&=\frac{3x^2+2}{2(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{x^3+2x}}\end{align*}$

Demikianlah konsep matematika tentang turunan atau diferensial, untuk latihan silakan download soal turunan fungsi aljabar disini . Namun, jika anda masih belum paham sebaiknya lihat video pembahasan turunan fungsi aljabar berikut . Untuk soal online, silakan kunjungi laman ini

Integral Tak Tentu - Matematika Wajib Kelas XI

Pada kurikulum 2013 revisi, materi integral dipelajari di kelas XI pada matematika wajib.

Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yang dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).

Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan atau invers dari turunan atau diferensial, oleh karena itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu atau anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yang sudah diturunkan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini  dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan.

Integral Tak Tentu

---

Seperti yang sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:

Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$  berdasarkan konsep turunan yang pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.

Tapi bagaimana jika pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ jika diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan atau integral.

Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta dan $C\in$ bilangan real.

  Rumus Dasar Integral

Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini dapat dengan mudah kita buktikan dengan menurunkan fungsi pada ruas kanan sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$

  Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real

Perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

  Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$

Contoh 1

$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....

  Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh

$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$

  Contoh 2

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....

  Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ dapat dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:

$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$

  Contoh 3

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....

 Jawab:

$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ dapat dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:

$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$

Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf 

  Contoh 4

$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$

  Contoh 5

$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$

  Contoh 6

$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$

  Contoh 7

$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$

Demikianlah contoh soal dan pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini

• DOWNLOAD ARTIKEL INI

Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yang biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, dan sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya akan membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)

Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat  .  

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yang umum, diturunkan dari beberapa hal yang khusus, dan cara ini berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:

1. Tunjukkan benar untuk $n=1$
2. Tunjukkan benar untuk $n=k$ dan benar juga untuk $n=k+1$

Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian $n\in N$.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan dan pembuktian pertidaksamaan

Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika

Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep dan sifat-sifat notasi sigma disini

---

Contoh 1 

Buktikan bahwa jumlah $n$ suku pertama bilangan ganjil adalah $n^2$

 Pembahasan:

Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:

$\begin{align*}1+3+5+\cdots+(2n-1)&=n^2\\\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right )&=n^2\end{align*}$ 

Langkah 1

Untuk $n=1$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1=1^2$ (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk $n=k$, maka:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk $n=k+1$, maka haruslah $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)=(k+1)^2$

kita akan bekerja di ruas kiri

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)&=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\&=k^2+\left\{ 2(k+1)-1\right \}\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2\end{align*}$

Karena pernyataan di atas benar untuk $n=1$ dan $n=k+1$, maka $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ adalah benar.

---

 Contoh 2:
Buktikan bahwa:
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

 Pembahasan:
Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Langkah 1
Untuk $n=1$, 
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{1}i^2&=\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\1&=1\space\text{         (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ maka haruslah
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1} i^2&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{ (k+1)+1\right \} \left\{ 2(k+1)+1\right \} \\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i^2&=\sum_{i=1}^{k}i^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^2\\&=\left(\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\right)+(k+1)^2\\&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{k(2k+1)+6(k+1)\right\}\\&=\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6k+6)\\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

---

 Contoh 3:
Buktikan $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$   (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ jumlahnya haruslah:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1 \right\}\\&=\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{i=k+1}^{k+1}i\\&=\frac{k}{2}(k+1)+(k+1)\\&=\left(\frac{k}{2}+1\right)(k+1)\end{align*}$

---

Contoh 4:
Buktikan bahwa $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$

Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1^3&=\frac{1}{4}(1^2)(1+1)^2\\1&=\frac{1}{4}(1)(4)\\1&=1\space\text{      (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2$

akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2\\ \frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2 \end{align*}$

Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika pada tulisan ini yang tidak tampil sempurna atau terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yang tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape

---

Contoh 5
Buktikan bahwa $\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(n.n!)=(n+1)!-1$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1.1!&=(1+1)!-1\\1.1&=2!-1\\1&=2-1\\1&=1\space\space\space\text{(Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misal benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)=(k+1)!-1$

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)+\left((k+1)(k+1)!\right)&=\left((k+1)+1\right)!-1\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=(k+2)!-1\\(k+1)!(1+k+1)-1&=(k+2)!-1\\(k+1)!(k+2)-1&=(k+2)!-1\\(k+2)!-1&=(k+2)!-1\end{align*}$




Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika

---

Contoh 6
Buktikan untuk $n\in$ bilangan asli $4^n-1$ habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka:
$4^1-1=3$  (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maka $4^k-1$ habis dibagi 3 (hipotesis)

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{k+1}-1&=4.4^k-1\\&=3.4^k+4^k-1\\&=3.4^k+\left(4^k-1\right)\end{align*}$

Jelas $3.4^k$ merupakan kelipatan 3 dan berdasarkan hipotesis $4^k-1$ merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa $4^n-1$ habis dibagi 3 untuk $n\in $ bilangan asli

---

 Contoh 7
Buktikan $\displaystyle a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Karena $(a-b)(a+b)$ habis dibagi $(a+b)$, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$

Langkah 2
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$.

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}a^{2(k+1)-b^{2(k+1)}}&=a^{2k+2}-b^{2k+2}\\&=a^2(a^{2k}-b^{2k})+b^{2k}(a^2-b^2)\end{align*}$

Karena $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$ dan $a^2-b^2$ juga habis dibagi $(a+b)$, maka $a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf

---

Contoh 8
Buktikan $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$
$4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$     (habis dibagi 12)

Langkah 2
Misal pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu:
$4^{k+1}-4$ habis dibagi 12

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{(k+1)+1}-4&=4^{k+2}-4\\&=16.4^k-4\\&=12.4^k+4.4^k-4\\&=12.4^k+(4^{k+1}-4)\end{align*}$

Karea $12.4^k$  dan $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

---

 Contoh 9:
Buktikan bahwa $P(n)=n(n+1)(n+5)$  habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$P(1)=1(1+1)(1+5)=12$    (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$,  atau dengan kata lain $P(k)$ merupakan kelipatan 3,

$P(k)=k(k+1)(k+5)=k^3+6k^2+5k$ 

Akan dibuktikan bahwa $P(k+1)$ merupakan kelipatan 3:

$\begin{align*}P(k+1)&=(k+1)\left((k+1)+1\right)\left((k+1)+5\right)\\&=(k+1)(k+2)(k+6)\\&=k^3+9k^2+10k+12\\&=(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)\\&=(k^3+6k^2+5k)+3(k^2+5k+4)\end{align*}$

Berdasarkan hipotesis, $k^3+6k^2+5k$ merupakan kelipatan 3 dan $3(k^2+5k+4)$ jelas merupakan kelipatan 3, maka dapat disimpulkan bahwa $P(n)$ habis dibagi 3 untuk $n\in N$

Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

---

 Contoh 10:
Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$

 Pembahasan:

Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita akan membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $ n\geq 4$.

Langkah 1 (Langkah dasar):
kita akan membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)

Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $ k \geq 4$ (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$             jika kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$

Dengan menggunakan hal di atas, kita akan membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ pada hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  $n\geq 4$

---

Demikianlah beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matermatika yang dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:

Download format pdf artikel ini 

• DOWNLOD TULISAN INI

Notasi Sigma - Konsep, Sifat-sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yang singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yang panjang, salah satunya adalah notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat erat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma dapat digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas dan sederhana.

Bagaimana kita menulis ungkapan seperti di bawah ini?

1. $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
2. $1+5+7+9+11+\cdots+2019$
3. $1+9+16+25+36+...+1.000.00$

Dari contoh di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi atau lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yang sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$

Keterangan:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$

$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$

$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$

$k=1$ disebut sebagai batas bawah

$k=n$ desebut sebagai batas atas

Catatan:

indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:

$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$  atau $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ dan sebagainya

Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$

Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$

Jawab:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$

Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya akan lebih mudah jika kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama dan $U_n$ suku terakhir, maka:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$ 

Contoh 3:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$

Jawab:

Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita bisa menggunkan cara yang sama dengan contoh 2 di atas:

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$

Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma

Contoh 1:

Tuliskan dalam notasi sigma:

$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$

Jawab:

$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$

Sifat-sifat Notasi Sigma

Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:

No	Sifat Notasi Sigma
1	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$
2	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$
3	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$
4	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$
5	$\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$
6	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$
7	$\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$
8	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$
9	$\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$
10	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$

Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$

Jawab:

Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$

Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.

Download file pdf artikel ini

• DOWNLOAD SOAL LIMIT