Aturan Pencacahan - Menyusun Huruf pada Suatu Kata dengan Syarat Huruf Tertentu Tidak Berdekatan

Pada tulisan kali ini, saya akan membahas topik khusus yang akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering muncul pada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Jadi, bagi anda yang saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda datang ke blog yang tepat, karena pada tulisan ini saya akan mencoba membahas dengan cara yang paling sederhana dan mudah dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk dapat mengerjakan soal "banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi dan kombinasi termasuk permutasi unsur yang sama. Jadi, pada tulisan ini saya tidak akan membahas dulu apa itu kombinasi dan permutasi, dan aturan permutasi unsur yang sama, namun akan langsung to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal dan Pembahasan

Baiklah, kita langsung aja ke soal dan pembahasan. Soal-soal yang saya bahas berikut ini saya ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yang pernah diujikan.

---

Soal 1 (UTN 2016)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal tidak boleh berdekatan adalah ....

A. 7.200

B. 2.400

C. 960

D. 720

Pembahasan:

Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada huruf vokal berdekatan adalah dengan "mensisipkan" huruf-huruf vokal diantara huruf konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal yaitu E, E, A dan 5 huruf konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan huruf vokal dan konsonan yang mungkin dapat anda lihat pada gambar di bawah ini:

5 buah kotak adalah tempat dimana kita akan "menyimpan" huruf konsonan, dan "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut adalah tempat kita akan "menyimpan" huruf-huruf vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak huruf konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup jelas?

Berikutnya, 3 hal yang perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" dan "Berapa banyak cara menyusun huruf konsonan?". Jika anda sudah dapat menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan menggunakan aturan perkalian kita dapat memperoleh jawaban soal diatas. Baik, mari kita coba jawab soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf vokal pada 6 tempat (ruang kosong) yang tersedia adalah: $\displaystyle C_{3}^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 tempat dari 6 tempat yang tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle \frac{3!}{2!}$ (permutasi unsur  yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan B, L, R, N, G adalah: $5!$

Jadi, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.5!&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.5!\\&=60. 5!\\&=7200\end{align*}$

Jadi, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan masalah banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan dapat anda lihat di channel youtube m4thlab, atau klik di sini

---

Soal 2 (UTN 2016)

Cara menyusun huruf TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....

A. 7.200

B. 3.600

C. 1.800

D. 1.200

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, E, A

Banyak huruf vokal: 3

Huruf-huruf konsonan:  T, R, C, P, T

Banyak huruf konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal adalah banyak konsonan ditambah 1 yaitu $5+1=6$ tempat

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_{3}^{6}$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T adalah; $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

Banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}\\&=30.5!\\&=3.600\end{align*}$

---

Soal 3

Cara menyusun huruf-huruf JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....

A. 120

B. 150

C. 180

D. 240

E. 270

Pembahasan:

Banyak huruf A ada 3

Banyak huruf selain A  yaitu J, K, R, T  ada 4

Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ tempat

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A pada 5 tempat tersedia adalah $C_{3}^{5}$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 huruf A adalah $\displaystyle\frac{3!}{3!}=1$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf selain A yaitu huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun huruf JAKARTA tanpa ada dua huruf A berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_3^5.1.4!&=\frac{5.4.3!}{3!.2!}.1.4!\\&=10.4!\\&=240\end{align*}$

Jadi, terdapat 240 cara

---

Soal 4 (UP 2019 tahap 2)

Cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN dengan tanpa ada dua huruf vokal yang berdekatan ada sebanyak ....

A. $6(7!)$

B. $35(6!)$

C. $28(7!)$

D. $28(5!)$

E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, A, A, A

Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N

Banyak huruf konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan huruf vokal adalah $6+1=7$ tempat

1) Banyak cara menempatkan vokal adalah $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf-huruf vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac{4!}{3!}$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  adalah $\displaystyle\frac{6!}{2!.2!}$ cara

Banyak cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_4^7.\frac{4!}{3!}.\frac{6!}{2!.2!}&=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}.4.\frac{6!}{4}\\&=35(6!)\end{align*}$

Jadi, terdapat $35(6!)$ cara

---

Soal 5 (UP 2018)

Cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....

A. $36(7!)$

B. $35(6!)$

C. $18(6!)$

D. $28(5!)$

E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: A, A, I, I, E

Banyak huruf vokal: 5

Huruf-huruf konsonan: R, T, T, M, K

Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan huruf vokal: $5+1=6$ tempat

Banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_5^6.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6!}{5!.1!}.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}\\&=15(6!)\end{align*}$

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah $15(6!)$ (Tidak ada pada opsi jawaban)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa contoh di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, jawaban boleh anda tulis pada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 huruf vokal berdekatan?

Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan.

Turunan Fungsi Trigonometri

Sebelumnya, m4th-lab telah membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yang merupakan salah satu materi yang dipelajari pada matematika wajib kelas XI.  Pada kesempatan ini kita akan belajar turunan fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas XII pada matematika peminatan.

Rumus Dasar

---

Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri

  1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$

  2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$

  3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$

  4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$

  5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$

  6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$

Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan huruf c turunannya bernilai negatif.

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.

Jawab:

Ingat kembali aturan penjumlahan dan pengurangan pada turunan fungsi aljabar yang telah kita pelajari  bahwa jika $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$

$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$

Selain rumus dasar di atas, perhatikan dan pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks sebagai berikut.

  

   Misal sudut dalam fungsi trigonometri adalah $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:

  1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

  2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

  3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$

  4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$

  5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$

  6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$

Perhatikan dan pahami rumus di atas. Sebenarnya jika anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat mudah untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan adalah mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$

Jawab:

Misal $6x=u$ maka $u'=6$

$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$

$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$

Jawab:

Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$

$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$

$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$ 
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$

---

Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2018)}$

Jawab:

Misal $4x-2018=u$ maka $u'=4$

$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2018)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2018)}\\&=20\sec^2{(4x-2018)}\end{align*}$

---

Contoh 5

Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$

---

Contoh 6

Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Jawab:

$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$

Turunan Bentuk $y=u.v$

---

Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan atau diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi adalah $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:

Contoh 7

Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$


Jawab

Kita buat pemisalan

$u=x^2\rightarrow u'=2x$

$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$

$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$

Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$

---

Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:

$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 8

Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....

Jawab

Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$

$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$


Aturan Rantai

---

Jika fungsi trigonometri yang akan kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ atau $y=\cos^n{u}$ atau $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan aturan rantai (chain rule) sebagai berikut:

$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$

Selanjutnya kita akan menentukan formula untuk menentukan turunan dari $y=\sin^n{u}$, $y=\cos^n{u}$ dan $y=\tan^n{u}$ dengan menggunakan aturan rantai berikut ini.

$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$

$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$

untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$

---

Contoh 10

Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$

 Jawab:

$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$

Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.

Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas XII

Pada Kesempatan ini m4th-lab akan membahas materi limit fungsi trigonometri, meliputi konsep, contoh soal dan pembahasan. Pada kurikulum 2013 revisi 2016, materi ini dipelajari di kelas XII matematika peminatan semester ganjil.

Pada matematika wajib kelas XI, adik-adik telah mempelajari Limit Fungsi Aljabar, termasuk definisi limit itu sendiri. Suatu fungsi $f(x)$ memiliki limit untuk $x$ mendekati $(x\to a)$ jika nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kanan mendekati nilai yang sama, misalnya $L$. Dapat ditulis:

$$\lim_{x\to a}{f(x)}=L$$

Definisi limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan limit fungsi aljabar di atas. Misal $f(x)$ merupakan fungsi trigonometri. Limit fungsi $f(x)$ mendekati sudut tertentu $a$ adalah nilai fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan dari kanan. 

Lihat juga : Menyelesaiakan limit trigonometri dengan deret Maclaurin

Banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Pertama, jika bentuk limit terdefinisi dengan mensubstitusi secara langsung (tidak diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$), maka limit tersebut dapat diselesaikan cukup dengan mensubstitusi. Namun, jika kita substitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka diperlukan langkah tertentu untuk menyelesaikan limit tersebut yang akan dibahas pada tulisan ini.

Sebelum kita lanjut membahas limit fungsi trigonometri, sebaiknya kalian ingat kembali teorema limit yang meliputi Sifat-sifat Limit sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to a} {c}=c $, dengan $c$ adalah konstanta
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}{x^{n}}=a^n$
3. $\displaystyle\lim_{x\to a}{c.f(x)}=c.\lim_{x\to a}{f(x)}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\pm g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x). g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}. \lim_{x\to a}{g(x)}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$, dengan syarat $\lim_{x\to a}{g(x)}\ne 0$
7. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\right]^n}=\left[\lim_{x\to a}{f(x)}\right]^n$

Berikut ini akan kita pelajari berbagai cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi

Menentukan nilai limit dengan substitusi secara langsung hanya sah jika hasil yang diperoleh terdefinisi (bukan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$).

Contoh 1.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}$

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}&=\cos(\pi +\sin{\pi})\\&=\cos(\pi+0)\\&=\cos{\pi}\\&=-1\end{align*}$

Contoh 1.2:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}$

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}&=\frac{\cos{0}}{\sin{0}+\cos{0}}\\&=\frac{1}{0+1}\\&=\frac{1}{1}\\&=1\end{align*}$

Contoh 1.3:
Tentukan limit fungsi berikut:
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}$

Pembahasan:
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\frac{1-\sin^2{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{\pi}{4}}}\\&=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\&=\frac{1-\frac{1}{2}}{0}\\&=\frac{\frac{1}{2}}{0}\\&=\infty\end{align*}$

2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Penyederhanaan

Jika setelah kita coba mensubstitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka salah satu cara yang bisa kita gunakan adalah dengan penyederhanaan. Namun, sebelumnya saiknya kalian mengetahui beberapa rumus trigonometri yang sering digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:

Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

1. $\displaystyle\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{1}{2}(A+B)}\cos{\frac{1}{2}(A-B)}$
2. $\displaystyle\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)}\sin{\frac{1}{2}(A-B)}$
3. $\displaystyle\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)\cos{\frac{1}{2}(A-B)}}$
4. $\displaystyle\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{1}{2}(A+B)\sin{\frac{1}{2}(A-B)}}$

Rumus Sudut Rangkap

1. $\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}$
2. $\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}$
3. $\cos{2A}=(\cos{A}+\sin{A})(\cos{A}-\sin{A})$
4. $\cos{2A}=1-2\sin^2{A}$
5. $\cos{2A}=2\cos^2{A}-1$

Perhatikan beberapa contoh dan pembahasan limit trigonometri berikut dengan cara menyederhanakan bentuk trigonometri

Contoh 2.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}=$ ....

Pembahsan:

Jika kita substitusi $x=\frac{\pi}{4}$ akan kita peroleh bentuk $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu), maka penyelesaian limit ini tidak cukup hanya dengan mensubstitusi.

Kita akan mengganti $\cos{2x}$ dengan $(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})$ (perhatikan rumus sudut rangkap no 3 di atas), sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})}{\cos{x}-\sin{x}}}\\&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\cos{x}+\sin{x}}\\&=\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\frac{\pi}{4}}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$ 

Contoh 2.2:

Selesaikan limit berikut dengan menyederhanakan:
$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}=$ ....

Penyelesaian:
$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{1-(1-2\sin^2{x})}}\\&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{2\sin^2{2x}}}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

3. Menentukan Limit dengan Rumus Limit Trigonometri

Seringkali kita akan menemukan soal limit fungsi trigonometri yang tidak cukup hanya dengan menyederhanakan, namun kita perlu menggunakan beberapa rumus dasar limit trigonometri sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{ax}}{ax}}=1$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sin{x}}}=1$
4. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\sin{ax}}}=1$
5. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{x}}{x}}=1$
6. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{ax}}{ax}}=1$
7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\tan{x}}}=1$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\tan{x}}}=1$

 Contoh 3.1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}=$

Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}&=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin{4x}\sin{x}}{x.x}\\&=\frac{2.4.1}{1.1}\\&=8\end{align*}$

Sebagai bahan latihan, silakan download soal limit fungsi trigonometri disini

Untuk lebih memahami limit fungsi trigonmetri, silakan pelajari video berikut

---