Aturan Pencacahan - Menyusun Huruf pada Suatu Kata dengan Syarat Huruf Tertentu Tidak Berdekatan

Pada tulisan kali ini, saya akan membahas topik khusus yang akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering muncul pada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Jadi, bagi anda yang saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda datang ke blog yang tepat, karena pada tulisan ini saya akan mencoba membahas dengan cara yang paling sederhana dan mudah dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk dapat mengerjakan soal "banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi dan kombinasi termasuk permutasi unsur yang sama. Jadi, pada tulisan ini saya tidak akan membahas dulu apa itu kombinasi dan permutasi, dan aturan permutasi unsur yang sama, namun akan langsung to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal dan Pembahasan

Baiklah, kita langsung aja ke soal dan pembahasan. Soal-soal yang saya bahas berikut ini saya ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yang pernah diujikan.

---

Soal 1 (UTN 2016)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal tidak boleh berdekatan adalah ....

A. 7.200

B. 2.400

C. 960

D. 720

Pembahasan:

Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada huruf vokal berdekatan adalah dengan "mensisipkan" huruf-huruf vokal diantara huruf konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal yaitu E, E, A dan 5 huruf konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan huruf vokal dan konsonan yang mungkin dapat anda lihat pada gambar di bawah ini:

5 buah kotak adalah tempat dimana kita akan "menyimpan" huruf konsonan, dan "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut adalah tempat kita akan "menyimpan" huruf-huruf vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak huruf konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup jelas?

Berikutnya, 3 hal yang perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" dan "Berapa banyak cara menyusun huruf konsonan?". Jika anda sudah dapat menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan menggunakan aturan perkalian kita dapat memperoleh jawaban soal diatas. Baik, mari kita coba jawab soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf vokal pada 6 tempat (ruang kosong) yang tersedia adalah: $\displaystyle C_{3}^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 tempat dari 6 tempat yang tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle \frac{3!}{2!}$ (permutasi unsur  yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan B, L, R, N, G adalah: $5!$

Jadi, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.5!&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.5!\\&=60. 5!\\&=7200\end{align*}$

Jadi, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan masalah banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan dapat anda lihat di channel youtube m4thlab, atau klik di sini

---

Soal 2 (UTN 2016)

Cara menyusun huruf TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....

A. 7.200

B. 3.600

C. 1.800

D. 1.200

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, E, A

Banyak huruf vokal: 3

Huruf-huruf konsonan:  T, R, C, P, T

Banyak huruf konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal adalah banyak konsonan ditambah 1 yaitu $5+1=6$ tempat

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_{3}^{6}$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T adalah; $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

Banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}\\&=30.5!\\&=3.600\end{align*}$

---

Soal 3

Cara menyusun huruf-huruf JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....

A. 120

B. 150

C. 180

D. 240

E. 270

Pembahasan:

Banyak huruf A ada 3

Banyak huruf selain A  yaitu J, K, R, T  ada 4

Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ tempat

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A pada 5 tempat tersedia adalah $C_{3}^{5}$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 huruf A adalah $\displaystyle\frac{3!}{3!}=1$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf selain A yaitu huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun huruf JAKARTA tanpa ada dua huruf A berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_3^5.1.4!&=\frac{5.4.3!}{3!.2!}.1.4!\\&=10.4!\\&=240\end{align*}$

Jadi, terdapat 240 cara

---

Soal 4 (UP 2019 tahap 2)

Cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN dengan tanpa ada dua huruf vokal yang berdekatan ada sebanyak ....

A. $6(7!)$

B. $35(6!)$

C. $28(7!)$

D. $28(5!)$

E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, A, A, A

Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N

Banyak huruf konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan huruf vokal adalah $6+1=7$ tempat

1) Banyak cara menempatkan vokal adalah $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf-huruf vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac{4!}{3!}$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  adalah $\displaystyle\frac{6!}{2!.2!}$ cara

Banyak cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_4^7.\frac{4!}{3!}.\frac{6!}{2!.2!}&=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}.4.\frac{6!}{4}\\&=35(6!)\end{align*}$

Jadi, terdapat $35(6!)$ cara

---

Soal 5 (UP 2018)

Cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....

A. $36(7!)$

B. $35(6!)$

C. $18(6!)$

D. $28(5!)$

E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: A, A, I, I, E

Banyak huruf vokal: 5

Huruf-huruf konsonan: R, T, T, M, K

Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan huruf vokal: $5+1=6$ tempat

Banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_5^6.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6!}{5!.1!}.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}\\&=15(6!)\end{align*}$

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah $15(6!)$ (Tidak ada pada opsi jawaban)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa contoh di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, jawaban boleh anda tulis pada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 huruf vokal berdekatan?

Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan.

Cara Mudah Memahami Modulo - Persiapan OSN dan Ujian Pengetahuan (UP) PPG Profesional Matematika

Pernahkah anda mendengar kata Modulo atau Modulus? Bagi yang sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini saya akan sedikit membahas konsep modulo sebagai referensi tambahan bagi adik-adik yang sedang mempersiapkan diri menghadapi OSN matematika atau kompetisi matematika lainnya. Selain itu, berdasarkan informasi yang kami terima materi modulo juga merupakan materi yang diujikan pada Ujian Pengetahuan (UP) UKMPPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru). 

Apa itu Modulo?

Modulo biasa digunakan untuk mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahawa $123=10\times 12+3$, yang artinya jika 123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunkan modulo dapat kita tulis $123\space\text{mod}\space 12=3$ atau $\text{mod}\space (123,12)=3$

Penulisan Modulo

Pada tulisan ini kami akan menggunakan tanda "$=$" agar lebih mudah dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ atau dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka akan bersisa $b$"

Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$

Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" dapat kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$

Aturan/Kaidah Dasar Modulo

Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo

---

Kaidah Dasar 1

$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:

1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?

Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7

2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?

Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$

Jadi, $35$ dibagi $8$ akan bersisa $3$.

3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?

Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$

Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$

Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.

---

Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)

$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$

Contoh:

1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?

Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$


Jadi $(10+17+21)$ jika dibagi $9$ maka akan bersisa $3$

2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ dibagi $2019$?

Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2018)\space\text{mod}\space 2019\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2019\\=(-36)\space \text{mod}\space 2019\\=\left((-1).2019+1983\right)\space\text{mod}\space 2019\\=1983$

Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ jika dibagi $2019$ maka akan bersisa $1983$

---

Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:

1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?

Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$

2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$?

Jawab:

Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi $10$

$(2016\times 2017\times 2018\times 2019)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$

Jadi, digit terakhir dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$ adalah $4$

---

Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$

Contoh:

1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi $8$?

Jawab:
$\begin{align*}(7^{2019})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2019}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2019}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$

Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi $8$ maka akan bersisa $7$

2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?

Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$

Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ akan bersisa $3$

3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ jika dibagi $7$?

Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$

Jadi, $54^{44}+55^{55}$ jika dibagi $7$ tidak bersisa 

---

Operasi pada Kongruensi Modulo

Apa yang akan terjadi jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo

Penjumlahan Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika pada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$. 

Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 jika dibagi 5)

Pengurangan Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.

Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$

Perkalian Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$

Pembagian Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$

Demikianlah pembahasan konsep modulo yang dapat kami bagikan pada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan pada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami akan membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya akan mempermudah perhitungan kita yang berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat

Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Cosinus jumlah dan selisih dua sudut sangat penting untuk kita pelajari terutama untuk menentukan nilai cosinus dari jumlah dua sudut istimewa atau selisih dua sudut istimewa, misalnya jika kita mau mencari nilai dari $\cos{75^\circ}$ atau $\cos{15^\circ}$ kita tidak perlu menggunkan alat bantu hitung (kalkulator), kita dapat menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Berikut inilah rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut:
$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Mungkin diantara anda ada yang penasaran darimana rumus tersebut diperoleh?. Jika anda adalah seorang pendidik (guru) akan lebih baik jika rumus tersebut tidak langsung diberikan begitu saja, namun arahkan peserta didik (siswa) anda untuk menemukan rumus tersebut (bisa berbantuan LKPD), dengan demikian peserta didik akan lebih memahami konsep dasarnya. Selain itu, konsep yang diperoleh dengan menemukan sendiri akan bertahan lebih lama pada ingatan peserta didik. Berikut ini kami sajikan salah satu cara menemukan (pembuktian) rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Perhatikan lingkaran satuan (berjari-jari 1 satuan) berikut:

Pusat lingkaran berada pada titik koordinat $O(0,0)$. Titik $A$ dan titik $B$ adalah dua titik yang terletak pada lingkaran, misal koordinat titik tersebut adalah $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$. Jarak titik $O$ ke $A$ dan jarak titik $O$ ke $B$ adalah $|OA|=|OB|=r=1$. Sudut yang terbentuk antara $OA$ dan sumbu $x$ adalah $\alpha$ dan sudut yang terbentuk antara $OB$ dan sumbu $x$ adalah $\beta$ serta $\angle{AOB}=\alpha-\beta$ maka kita peroleh:

$\cos{\alpha}=\frac{x_1}{r}=\frac{x_1}{1}=x_1$ dapat kita tulis $x_1=\cos{\alpha}$

$\sin{\alpha}=\frac{y_1}{r}={y_1}{1}=y_1$ dapat kita tulis $y_1=\sin{\alpha}$

$\cos{\beta}=\frac{x_2}{r}=\frac{x_2}{1}=x_2$ dapat kita tulis $x_2=\cos{\beta}$

$\sin{\beta}=\frac{y_2}{r}=\frac{y_2}{1}=y_2$ dapat kita tulsi $y_2=\sin{\beta}$

Selanjutnya, dengan menggunkan konsep jarak antara dua titik yang sudah dipelajari di SMP, kita akan menentukan jarak antara titik $A$ dan titik $B$

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta-\sin{\alpha}})^2}\\&=\sqrt{\cos^2{\beta}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\alpha}+\sin^2{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin^2{\alpha}}\end{align*}$

Berdasarkan identitas trigonometri, kita ketahui bahwa $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ dan $\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1$, maka dari  persamaan di atas kita peroleh

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{1+1-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\end{align*}$ 

Kita sebut saja persamaan $|AB|=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}$ sebagai persamaan (1)

Jika juring $AOB$ kira rotasi searah jarum jam sejauh $\beta$ dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$, maka $OB$ akan berimpit di sumbu $x$, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Misal koordinat titik $A$ setelah di rotasi adalah $A'(x_1', y_1')$ 

$\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{x_1'}{r}=\frac{x_1'}{1}=x_1'$ dapat kita tulis $x_1'=\cos{(\alpha-\beta)}$

$\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{y_1'}{r}=\frac{y_1'}{1}=y_1'$ dapat kita tulis $y_1'=\sin{(\alpha-\beta)}$

Setelah dirotasi, titik $B$ terletak di sumbu $x$ dengan koordinat $B'(1,0)$

Selanjutnya kita akan mencari jarak antara titik $A'$ dan titik $B'$

$\begin{align*}|A'B'|&=\sqrt{(1-x_1')^2+(0-y_1')^2}\\&=\sqrt{(1-\cos{(\alpha-\beta)})^2+(0-\sin{(\alpha-\beta)})^2}\\&=\sqrt{1-2\cos{(\alpha-\beta)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}+\sin^2{(\alpha-\beta)}}\\&=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}\end{align*}$

Kita sebut saja persamaan $|A'B'|=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}$ sebagai persamaan (2)

Ukuran juring $AOB$ sebelum dan setelah rotasi tidak berubah (rotasi tidak mengubah ukuran), maka $|A'B'|=|AB|$, dari persamaan (1) dan persamaan (2) kita peroleh:

$\begin{align*}|A'B'|&=|AB|\\ \sqrt{2-2\cos{\alpha-\beta}}&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\\ 2-2\cos{(\alpha-\beta)}&=2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\-2\cos{(\alpha-\beta)}&=-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Catatan: Jika anda membuka tulisan ini menggunakan smartphone, kemungkinan equation terpotong. Silakan posisikan layar semartphon anda dalam mode landscape atau buka tulisan ini via PC/laptop.

Dari proses di atas, maka kita peroleh bahwa rumus cosinus selisih dua sudut yaitu $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

Untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, kita hanya perlu mensubstitusi $-\beta$ ke $\beta$ dan perlu diingat bahwa $\cos{(-\beta)}=\cos{\beta}$ dan $\sin{(-\beta)}=-\sin{\beta}$

$\begin{align*}\cos{(\alpha-(-\beta))}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Contoh Penyelesaian Soal

Contoh 1

Tentukan nilai dari $\cos{15^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Contoh 2

Tentukan nilai dari $\cos{75^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Demikianlah materi yang dapat kami bagikan pada tulisan sederhana ini, semoga memberikan ilmu baru bagi anda. Jika ada kekeliruan mohon koreksinya, silakan isi kolom komentar.

4 Kesalahan yang Sudah Membudaya dalam Matematika, Apakah Anda juga Melakukannya?

Tahukah anda, beberapa istilah atau penggunaan kata yang berkaitan dengan matematika maupun dalam perhitungan yang umum digunakan belum tentu yang benar. Pada tulisan kali ini saya akan memaparkan 4 kesalahan atau kekeliruan yang berkaitan dengan matematika yang umum dilakukan baik dalam penggunaan istilah atau kata maupun dalam perhitungan. Apakah dari keempat kesalahan tersebut ada yang masih anda lakukan sampai saat ini? mari kita simak baik-baik.

Antara Nol dan Kosong

Kesalahan pertama yang sangat umum dan sering kita dengar adalah kesalahan menggunkan kata antara "nol" dan "kosong". Misal dalam menyebutkan nomor kontak 085223 ... masih banyak yang mengatakan "kosong delapan lima dua dua tiga ... ". Contoh lain, di tahun 90-an ada sebuah sinetron super hero berjudul saras 008  biasa dibaca saras kosong kosong delapan. Anda masih ingat dengan sinetron tersebut? (jebakan umur 😂 )

Nol dan kosong memiliki makna yang berbeda nol adalah bilangan yang dilambangkan 0, bilangan tersebut ada, ya nilainya nol. Sementara kosong lebih cenderung menunjukkan sebuah keadaan "tidak ada" atau nihil. Misalnya dalam himpunan, ada yang disebut dengan himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota disimbolkan "$ \{\space\}$" atau "$\varnothing$". Namun, jika suatu himpunan memiliki anggota nol saja tidak dikatakan sebagai himpunan kosong, karena dia memiliki anggota, yaitu nol dapat ditulis $\{0 \}$

Aritmatika atau Aritmetika?

Pernah mendengar kata aritmatika atau aritmetika? ya, pastinya kata tersebut tidak asing untuk kita, bahkan untuk siswa SMP pun saat belajar materi barisan dan deret pastinya tidak asing dengan kata aritmatika atau aritmetika. Menurut anda mana yang benar, aritmatika atau aritmetika?

Saat ini masih banyak yang keliru menggunkan kata aritmatika padahal yang benar adalah aritmetika. Aritmetika adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan dan sifat-sifat bilangan, sering juga disebut ilmu hitung. Pada materi barisan dan deret ada barisan dan deret bilangan yang disebut barisan dan deret aritmetika (disebut juga barisan dan deret hitung) yaitu salah satu jenis barisan dan deret bilangan dimana nilai bilangan (suku) berikutnya merupakan penjumlahan dari nilai (suku) bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan tersentu yang disebut beda barisan/deret. 

Contohnya: 2, 5, 8, 11, ...

Barisan bilangan di atas merupakan contoh dari barisan aritmetika. 

Semoga setelah melihat tulisan ini anda akan mulai membiasakan menggunakan kata aritmetika ketimbang aritmatika.

Puluhan atau Ratusan dibelakang koma?

Kesalahan umum berikutnya adalah menyebutkan nilai puluhan atau ratusan bahkan ribuan untuk bilangan dibelakang koma. Misalnya untuk nilai $\pi=3,14$ masih ada yang membaca "tiga koma empat belas". Apakah menurut anda hal tersebut benar?

Untuk bilangan dibelakang koma tidak ada nilai satuan, puluhan, ratusan dan sebagainya. Jadi, untuk digit dibelakang koma cara pelapalannya adalah dengan menyebutkan satu persatu bilangan tersebut. Misalnya untuk $\pi=3,14$ kita baca "tiga koma satu empat" bukan "tiga koma empat belas". Contoh lain, $30,213$ dibaca "tiga puluh koma dua satu tiga" bukan "tiga puluh koma dua ratus tiga belas". Jelas kan?

Nilai Akar Kuadrat apakah Positif dan Negatif?

Menurut anda berapakah nilai dari $\sqrt{4}$? apakah $\sqrt{4}=\pm 2$ atau $\sqrt 4=2$

Nilai Akar kuadrat sebuah bilangan yang memenuhi hanya nilai positif saja. Jadi nilai dari $\sqrt 4$ adalah $2$, bukan $\pm 2$. atau untuk akar kuadrat lainnya, misalnya nilai dari $\sqrt 25$ adalah $5$ bukan $\pm 5$. Mungkin anda akan bertanya "Kenapa seperti itu?", "kenapa nilai $\sqrt 4$ bukan $\pm 2$ padahal $2^2=4$ dan $(-2)^2=4$?"

Jawabannya sederha, kita bisa memperhatikan definisi nilai mutlak berikut:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Misal kita akan menentukan nilai $\sqrt{4}$ sementara kita sudah mengetahui bahwa $2^2=4$ dan juga $(-2)^2=4$. Dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=|2|=2$

$\sqrt{4}=\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$

Jadi jelas, dengan definisi nilai mutlak di atas kita peroleh bahwa nilai dari $\sqrt{4}$ adalah $2$, bukan $\pm 2$.

Namun beda halnya ketika kita akan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2=4$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\pm 2$, kenapa seperti itu?

Kasus menentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2=4$ berbeda dengan kasus menentukan nilai $\sqrt 4$. Ingat konsep persamaan polinomial, untuk persamaan polinomial berderajat $n$ maka persamaan tersebut memiliki akar (nilai yang memenuhi) sebanyak $\leq n$. Untuk persamaan $x^2=4$ dapat ditulis $x^2-4=0$ memiliki maksimal dua nilai $x$ yang memenuhi, atau dengan cara memfaktorkan kita peroleh:

$\begin{align*}x^2&=4\\x^2-4&=0\\(x+2)(x-2)&=0\end{align*}$

$x=-2$ atau $x=2$

Sekarang coba anda jawab pertanyaan berikut:

1) $\sqrt 49=$ ....

2) Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $x^2=49$

Jawab:

1) $\sqrt 49 =7$

2) $x=\pm \sqrt 49 = \pm \sqrt 7$

Baiklah sementara ini dulu yang dapat saya tulis, jika ada kekeliruan pada tulisan ini silakan beri komentar atau jika anda mengetahui kekeliruan umum lainnya silakan tambahkan pada kolom komentar agar kita semua dapat terus memperbaiki diri untuk menjadi lebih baik dengan saling mengingatkan.

Semoga bermanfaat, silakan share untuk saling mengingatkan

Kumpulan Soal-soal HOTS Matematika SMP

Saat ini kita memasuki era digital yang dikenal dengan revolusi industri 4.0, pada abad 21 ini tantangan dan persaingan kedepan akan sangat ketat. Terdap[at 4 keterampilan yang diperlukan di abad 21 ini yang dikenal dengan 4C, yaitu communication, collaborative, critical thinking, dan creativity. Penggunaan soal Higher Order Thinking Skills (HOTS) sebagai instrumen pembelajaran merupakan salah satu upaya untuk meningkatkan kemampuan critical thinking peserta didik sebagai salah satu keterampilan yang diperlukan di abad 21.

Pengertian soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) 

Soal-soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) merupakan instumen pengukuran yang digunakan untuk mengukur kemampuan tingkat tinggi dan bukan hanya sekedar mengingat (recall), menyatakan kembali (restate), atau merujuk tanpa melakukan pengolahan (recite). 

Dalam Taksonomi Bloom yang telah disempurnakan oleh Anderson & Krathwohl (2011) yang terdiri dari: mengetahui (knowing - C1), memahami (understanding - C2), menerapkan (aplying - C3), menganalisis (analyzing - C4), mengevaluasi (evaluating - C5), dan mengkreasi (creating - C6) pada umumnya soal-soal HOTS mengukur ranah C4, C5 dan C6 yaitu menganalisis (analyzing), mengevaluasi (evaluating) dan mengkreasi (creating).

Karakteristik Soal HOTS

Saat ini masih banyak yang beranggapan bahwa soal HOTS adalah soal yang sulit atau menganggap "setiap soal sulit adalah soal HOTS", anggapan tersebut keliru. Untuk dapat membedakan antara soal HOTS dan soal bukan HOTS, kita perlu mengetahui karakteristik (ciri-ciri) dari soal HOTS, yaitu:

• Mengukur kemampuan menganalisis, mengevaluasi atau mencipta (C4, C5 atau C6)
• Berbasis permasalahan kontekstual (berbasis situasi nyata dalam kehidupan sehari-hari)
• Tidak algoritmik.
• Adanya stimulus (dapat berupa gambar, grafik, teks, visualisasi dll)
• Soal non rutin
• Membutuhkan pertimbangan dan interprestasi (soal kompleks)
• Melibatkan banyak kriteria
• Memungkinkan jawaban diperoleh dari berbagai sudut pandang

Kumpulan Soal-soal HOTS Matematika SMP/MTs

Berikut ini kami sajikan beberapa soal dengan kriteria HOTS (Higher Order Thinking Skills) untuk mata pelajaran matematika tingkat SMP atau MTs:

Materi : Volume

Soal 1

Fatih akan memasukkan buku-buku yang berukuran sama dalam sebuah kotak berbentuk balok seperti pada gambar di bawah ini:

Berapa jumlah buku maksimum yang dapat dimasukkan Fatih ke dalam kotak?

Materi : Himpunan

Soal 2

Persentase banyak peserta lomba peragaan busana yang menyukai warna-warna tertentu ditunjukkan dalam tabel di bawah ini.

Warna	Persentase
Merah	75%
Hijau	30%
Warna Lain	10%

Banyak persentase yang menyukai warna merah dan hijau adalah:

A. 15%

B. 45%

C. 65%

D. 105%

Materi : SPLDV

Soal 3

Bu Ana dan Pak Budi sedang menyiapkan hadiah untuk lomba Perayaan Hari Kemerdekaan dengan membeli hadiah di toko buku yang sama. Di toko A, Bu Ana membeli 18 buku tulis dan 15 pensil dengan harga Rp120.000,00, sedangkan pak Budi membeli 12 buku tulis dan 20 pensil dengan harga Rp100.000,00. Karena masih kekurangan, bu Ana membeli lagi  10 buku tulis dan 7 pensil dengan membayar Rp61.000,00 dan pak Budi membeli lagi 9 buku tulis dan 8 pensil dengan harga Rp60.000,00 di toko buku B. Pernyataan berikut yang benar adalah ....

A. Harga sebuah buku di toko A lebih murah dari harga sebuah buku di toko B

B. Harga sebuah buku di toko B lebih mahal dari harga sebuah buku di toko A 

C. Harga sebuah pensil di toko B lebih murah dari harga sebuah pensil di toko A 

D. Harga sebuah pensil di toko A lebih mahal dari harga sebuah pensil di toko B

Materi : Bangun Datar

Soal 4

Diketahui sebuah tangga yang terdiri dari 14 anak tangga memiliki total ketinggian 252 cm seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini

Berapakah ketinggian masing-masing dari 14 anak tangga tersebut?

Soal 5

Pak Eko akan membuat pagar di sekeliling kebun yang ia miliki dengan bentuk pagar seperti ditunjukkan gambar di bawah ini:

Ia memiliki 4 rancangan, yaitu rancangan A, B, C dan D untuk pemasangan pagar sebagai berikut

Jika kayu yang dimiliki Pak Eko untuk membuat pagar adalah 32 meter (tidak termasuk untuk tiang pagar), maka rancangan mana saja kah yang dapat ia gunakan?

Materi : Kesebangunan

Soal 6 (UNBK SMP 2019)

Sebuah pohon berada di depan gedung mempunyai tinggi 8 m. Pada saat yang sama bayangan gedung berimpit dengan bayangan pohon seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Tinggi gedung yang sesuai dengan ukuran tersebut adalah ....

A. 5,30 m

B. 6,25 m

C. 10,00 m

D. 12,00 m

Soal 7 (UN SMP 2016)

"Lebar Sungai"

Andi ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu dia menancapkan tongkat pada posisi A, B, C dan D dengan ukuran seperti pada gambar.

Andi ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?

A. 11 m

B. 12 m

C. 15 m

D. 16 m

Soal 8 (SN SMP 2016)

Pak Syahebi mempunyai sebidang lahan berbentuk jajargenjang. Sebagian lahan tersebut ditanami sayuran. Disekeliling tanaman sayuran dibuat jalan seperti tampak pada gambar di bawah. Jika lahan dan lahan sayuran sebangun, maka luas jalan adalah ....

A. 200 cm

B. 152 cm

C. 150 cm

D. 136 cm

Materi : Peluang

Soal 9 (UN 2018)

Dalam kantong terdapat lima bola berwarna merah diberi nomor 1 sampai 5, empat bola berwarna kuning diberi nomor 6 sampai 9 dan tiga bola berwarna hijau diberi nomor 10 sampai 12. Sebuah bola diambil secara acak, muncul bola hijau bernomor ganjil dan tidak dikembalikan. Diambil lagi sebuah bola secara acak, muncul bola kuning bernomor prima dan tidak dikembalikan. Jika diambil lagi sebuah bola secara acak, peluang terambilnya bola bernomor prima adalah ....
A. $\displaystyle\frac{1}{4}$
B. $\displaystyle\frac{3}{10}$
C. $\displaystyle\frac{4}{10}$
D. $\displaystyle\frac{3}{4}$

Soal 10 (UN 2016)

Doni diperbolehkan ibunya untuk mengambil satu permen dari sebuah kantong. Dia tidak dapat melihat warna permen tersebut. Banyaknya permen dengan masing-masing warna dalam kantong tersebut ditunjukkan dalam grafik berikut

Berapakah peluang Doni mengambil sebuah permen warna merah?
A. 10%
B. 20%
C. 25%
D. 50%

Materi: Pola Bilangan

Soal 11

Tony dan Mario dua sahabat beda negara. Tony tinggal di Sidney (Australia) dan Mario tinggal di Berlin (Jerman).  Mereka berkomunikasi melalui chat WhatsApp. Tony mengetahui bahwa Mario hanya diperbolehkan menggunkan smartphone oleh orang tuanya sepulang sekolah, yaitu pukul 14:00 waktu Berlin. Untuk menemukan waktu yang cocok untuk melakukan chat, Tony melihat panduan jam dunia dan menemukan hal di bawah ini:

Jam berapakah (waktu Sidney) Tony harus menghubungi mario?

Soal 12

Eko membuka sebuah buku. Ia membuka di bagian awal, halam sisi kiri adalah daftar isi dan sisi kanan adalah halaman 1. Saat membuka di bagian lain, nomor halaman yang tampak jika dijumlah hasilnya 185. Kemungkinan nomor halaman yang dimaksud adalah ....
A. Sisi kiri 90
B. Sisi kiri 92
C. Sisi kanan 89
D. Sisi kanan 91


Materi: Pola SPLDV

Soal 13

Pada peluncuran sebuah roket, tinggi $h$ meter roket setelah $t$ detik diluncurkan dinyatakan dengan $h=xt-yt^2$. 

Tinggi roket setelah 2 detik adalah 40 meter dan tinggi setelah 3 detik adalah 45 meter. Tentukan:
a. Nilai $x$ dan $y$
b. Tinggi roket setelah 5 detik


Demikianlah soal-soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) matematika SMP yang dapat kami bagikan. InsyaAlloh akan kami update. Semoga bermanfaat